Леонид Куравлев родился в 1936 году в семье слесаря московского завода «Салют» Вячеслава Яковлевича и парикмахера Валентины Дмитриевны. Сниматься в кино или играть в театре будущий артист не мечтал и профессию искал от противного — в школе у него было неважно с точными науками, поэтому он выбирал такое высшее учебное заведение, в котором не требовалось сдавать ни физику, ни химию.
Как-то в беседе с двоюродной сестрой прозвучала аббревиатура ВГИК — и решение было принято. Престижный вуз сдался не сразу: первая попытка, предпринятая в 1953 году, провалилась. Абитуриент пошел набираться жизненного опыта, работая в московской артели «Оптик». Куравлева зачислили на актерское отделение со второго раза, в 1955-м.
Во ВГИКе он учился у Бориса Бибикова. Поначалу не очень хорошо: на первом курсе его даже хотели отчислить. Однако со временем Куравлев оказался среди лучших студентов курса. А еще чуть погодя стал одним из самых любимых актеров советских и российских зрителей.
Дебют Леонида Куравлева в кино состоялся еще в годы учебы — в 1958-м он сыграл роль солдата в фильме «Сегодня увольнения не будет…». Короткометражная приключенческая драма, основанная на очерке Аркадия Сахнина «Эхо войны», стала курсовой работой Александра Гордона и Андрея Тарковского, в то время учившихся на режиссерском отделении ВГИКа.
В 1960-м был снят еще один короткометражный фильм с участием молодого актера — социальная драма «Из Лебяжьего сообщают», курсовая и первая самостоятельная режиссерская работа Василия Шукшина, в то время тоже студента ВГИКа. Леонид Куравлев сыграл в фильме заикающегося механика Сеню Громова, озабоченного нехваткой коленчатых валов. В том же году его увидела на экране вся страна — он перевоплотился в кочегара Петра Камушкина в фильме Михаила Швейцера «Мичман Панин», посвященного революционной деятельности матросов Балтфлота накануне Первой мировой войны.
Закончив ВГИК в 1960 году, Леонид Вячеславович начал активно работать в кино. Среди ролей, сыгранных им в 1960-х, — Леня в драме Льва Кулиджанова «Когда деревья были большими» (1961), прораб Корнеев в фильме Михаила Швейцера и Софии Милькиной «Время, вперед!» (1965), комиссар Сердюк в трагикомедии Александра Митты «Гори, гори, моя звезда» (1969).
Тогда же он исполнил главные роли в двух кинокартинах Василия Шукшина — мелодраме «Живет такой парень» (1964) и киноповести «Ваш сын и брат» (1966). В первой Куравлев играет простоватого и мечтательного шофера Пашку по прозвищу Пирамидон, совершенно негероического человека, который, однако, в критической ситуации не раздумывая совершает подвиг. Фильм был удостоен приза «Лев святого Марка» на Венецианском кинофестивале в 1964 году и отмечен премией первого Всесоюзного кинофестиваля как лучшая комедия. В картине «Ваш сын и брат» герой Куравлева — простой деревенский парень Степан, попавший в тюрьму за участие в драке. Не в силах преодолеть тоску по родному дому, он сбегает незадолго до окончания срока. Побег оборачивается новыми неприятностями: за Степаном приходит милиционер, становится ясно, что срок могут увеличить.
Куравлева часто вспоминают как характерного комического актера. Однако уже в первые годы кинокарьеры он продемонстрировал широкую палитру своего таланта. Леонид Вячеславович заставлял зрителей смеяться над фразочками своего героя Шуры Балаганова в комедии Михаила Швейцера «Золотой теленок» (1968), холодеть от ужаса, как Хома Брут в триллере Константина Ершова и Георгия Кропачева «Вий» (1967). А в 1966 году вышел фильм Гергия Натансона «Старшая сестра», в нем Куравлев сыграл Володю, поклонника Джерома Сэлинджера, за которого пытается выдать замуж главную героиню (Татьяна Доронина) ее предприимчивый дядя. Это совсем небольшая роль, но актеру удалось сделать ее запоминающейся — его Володя очень трогательный, скромный и очевидно хороший человек.
В 1970 году вышла трагикомедия Глеба Панфилова «Начало» о мучительном пути провинциальной самодеятельной актрисы Паши (Инна Чурикова) к кинороли Жанны д’Арк. Куравлев сыграл роль Аркадия, возлюбленного главной героини. Одна из первых сцен фильма — их неловкое знакомство на танцплощадке: он приглашает ее, из рук девушки выпадает сумочка, оба наклоняются и тут же сталкиваются лбами («— Вам больно? — Что вы, напротив, даже приятно! А вам? — И мне: знаете, как звенит!»).
Лидером проката 1973 года стала комедия Леонида Гайдая «Иван Васильевич меняет профессию» по мотивам пьесы Михаила Булгакова. Куравлев исполнил в ней роль обаятельного вора Жоржа Милославского. Его фраза «Храните деньги в сберегательной кассе!», обращенная с экрана к зрителям, стала крылатой, как и «Это я удачно зашел!», не говоря уже о песне «Вдруг, как в сказке, скрипнула дверь», которую он исполняет вместе с придворными музыкантами Ивана Грозного. Сегодня сложно представить себе другого Милославского, однако изначально на эту роль был утвержден Андрей Миронов. У актера не сложился дуэт с Юрием Яковлевым (управдом Бунша и Иван Грозный), и Гайдай начал поиски нового Жоржа.
В том же 1973-м на телеэкраны вышел знаменитый сериал Татьяны Лиозновой «Семнадцать мгновений весны», в котором Куравлев сыграл оперативника гестапо Курта Вайсмана.
Среди ролей Куравлева в кино 1970-х годов — главный герой «Жизни и приключений Робинзона Крузо» (1972) Станислава Говорухина, вор Валька Копченый в легендарном многосерийном фильме «Место встречи изменить нельзя» (1979), работник комиссионного магазина Веня Гурьянов в комедии Владимира Басова «Нейлон 100 %». В комедии «Ты — мне, я — тебе» (1977) Александра Серого Куравлев сыграл сразу двух героев: хваткого и оборотистого московского банщика Кашкина, чей жизненный принцип вынесен в название фильма, и его брата-близнеца, скромного и очень честного провинциального инспектора Рыбнадзора. Последний, заболев, просит брата заменить его на работе, чем запускает череду комических ситуаций.
Пожалуй, главный фильм десятилетия с Леонидом Куравлевым вышел в 1975 году — это была трагикомедия Георгия Данелии «Афоня». Герой Куравлева, слесарь Афоня, за неполных полтора часа экранного времени проходит путь от беззаботной жизни с пьянками, гулянками и халтурами до серьезного экзистенциального кризиса.
В 1981 году вышла производственная драма Татьяны Лиозновой «Мы, нижеподписавшиеся», в которой Куравлев сыграл Леонида Шиндина, главного диспетчера строительно-монтажного управления, не достроившего хлебозавод. Практически все действие двухсерийного фильма происходит в поезде, где Шиндин, преследуя личные цели, пытается убедить членов комиссии все-таки принять объект. Жену героя сыграла Ирина Муравьева — вместе с ней чуть позже Куравлев появился в комедии Геральда Бежанова «Самая обаятельная и привлекательная» (1985). Его герой — неунывающий оптимист, остряк и отец большого семейства Миша Дятлов — работает с героиней Муравьевой в конструкторском бюро НИИ.
Первой премьерой 1983 года в СССР стала детективная комедия Аллы Суриковой «Ищите женщину» — фильм показали по телевидению 1 января. Зрители его очень полюбили, и в дальнейшем картину много раз повторяли. Леонид Куравлев сыграл в фильме сердитого (по причине сильной простуды) инспектора Анри Грандена, вынужденного расследовать таинственное убийство, вместо того чтобы спокойно лечиться дома. Партнершей Куравлева по съемочной площадке стала Софико Чиаурели. Ее героиня была знакома с Гранденом в далекой юности, и вот судьба снова столкнула их. Для Куравлева и Чиаурели, кстати, эта встреча тоже стала своего рода напоминанием о молодости: актеры учились вместе во ВГИКе.
Среди киноролей Леонида Куравлева, которые он сыграл в 1990-х и 2000-х, — посол США в комедии «Ширли-мырли» (1995), вахмистр Букин в драме «Сибирский цирюльник» (1998), проводник Николай Петрович в мелодраме «Железнодорожный романс» (2002), майор в военном детективе «Турецкий гамбит» (2005), барин в фильме-сказке «Книга мастеров» (2009).
С 1960 по 1992 год Леонид Куравлев работал в Театре-студии киноактера (сейчас — Центр театра и кино под руководством Никиты Михалкова). Актеры театра всегда принимали участие в дубляже зарубежных кинокартин и озвучивали мультипликационные фильмы. Среди кинокартин, в которых можно услышать голос Куравлева, — детский фильм «Приключения Калле-сыщика» (1976) Арунаса Жебрюнуса по мотивам книги Астрид Линдгрен «Приключения Калле Блюмквиста». В нем артист озвучил дядю Эйнара (Гедиманас Гирдвайнис) — оказавшегося преступником родственника подруг заглавного героя.
Также Леонид Куравлев подарил свой голос героям мультфильмов «Айболит и Бармалей» (1973), «Дождь» (1978), «Мартынко» (1987), «Карпуша» (1988), «Курица» (1990), «Чуффык» (1993), «Ночь перед Рождеством» (1997).
В 1965 году Леонид Куравлев получил звание заслуженного артиста РСФСР — с формулировкой «за заслуги в области советского киноискусства». В 1977 году с аналогичной формулировкой он был удостоен звания народного артиста РСФСР.
Также среди наград актера — орден «За заслуги перед Отечеством» IV степени. Леонид Вячеславович получил его 29 декабря 2012 года за большой вклад в развитие отечественной культуры и искусства, многолетнюю плодотворную деятельность.